Eterno retorno

Plumas, pinceles y qubits #

La idea de un tiempo circular está aparece, y reaparece, en la literatura, el arte y la ciencia. Por citar un primero de estos ciclos: el uróboro, la serpiente que se muerde a si misma, simboliza el ciclo eterno de las cosas, imagen de la naturaleza cíclica del tiempo y del eterno retorno. Borges explora estas nociones en cuentos como Las ruinas circulares el autor sugiere un “eterno retorno y eterno comienzo” donde nada termina definitivamente. En Las ruinas circulares un mago sueña y va dando forma a otro ser, hasta descubrir al final que él mismo es el sueño de otro, cerrando así un círculo onírico de creación y muerte. Esta narrativa circular enlaza con otros textos borgianos: por ejemplo, El jardín de senderos que se bifurcan retrata el tiempo como un laberinto de caminos que se bifurcan en todas las posibilidades, un “multiverso” literario donde todos los destinos coexisten. En el ensayo “La doctrina de los ciclos” Borges aborda la idea de un retorno literal desde un enfoque matemático: invoca a Cantor para argumentar que un universo de infinitos puntos no puede repetir exactamente sus estados. En “El tiempo circular” examina tres concepciones del eterno regreso –astrológica (platónica), nietzscheana y cósmica (año de Brahma)– sin adherirse a ninguna. Ahí cita a Schopenhauer: “La forma de aparición de la voluntad es sólo el presente… Nadie ha vivido en el pasado, nadie vivirá en el futuro”, negando así la existencia efectiva del pasado y el futuro fuera de la conciencia presente. En conjunto, Borges amalgama la idea de ciclos con la de múltiples realidades: sus textos circulares ofrecen un flujo perpetuo de creación, donde cada historia es al mismo tiempo un comienzo y un regreso.

Nietzsche hizo del eterno retorno un tema central: no sólo los hechos, sino también los pensamientos y las ideas “se repiten una y otra vez” eternamente. En La gaya ciencia invita a aceptar lo que ha de volver (el amor fati) como prueba de grandeza. Previamente, Schopenhauer había concebido un mundo eterno en ciclos de la Voluntad: en El mundo como voluntad y representación afirma que sólo existe el presente –pasado y futuro son meros marcos de la conciencia–, de modo que la existencia es un flujo continuo sin novedad radical. Así, en la tradición occidental –como ya lo observaban los estoicos– el tiempo no es lineal sino circular: cada universo se destruye para renacer igual; cada acto se repite bajo formas equivalentes. Borges retoma estas raíces filosóficas, reconociendo la concepción estoica y oriental del tiempo cíclico e incorporándola a su “historia de la eternidad”.

En el arte plástico, el tiempo devorador se traduce en imágenes poderosas. Goya pintó Saturno devorando a su hijo (ca. 1820) como crónica pictórica de Cronos (Saturno romano) en el acto caníbal de engullir a uno de sus vástagos. Tradicionalmente esta escena es un emblema alegórico del paso inexorable del tiempo: Cronos se comía a sus hijos para evitar ser destronado, literalmente devorando el futuro por temor a perder el poder, es él quien quiere perpetrarse eternamente. En el lienzo de Goya, la furia del dios bruñido y la sangre del niño desgarrado ilustran el ciclo eterno de destrucción –el “padre” que consuma al “hijo”– que preside las pinturas negras. Antes, en 1636 Rubens había pintado Saturno (para la Torre de la Parada), donde el titán Saturno, advertido de que uno de sus hijos lo derrocaría, decide devorarlos a todos. Ahí Saturno aparece desgarrando el pecho de uno de sus hijos mientras empuña su guadaña. Rubens coloca la figura enorme del dios contra un fondo oscuro, destacando el horror barroco del mito. Estas dos obras, la de Rubens y la de Goya, plasman el rostro sombrío del retorno cíclico: el tiempo, representado por Cronos, es un ciclo destructor que engulle a sus propias creaciones. En ambos casos el arte encarna lo que el uroboro simboliza: la eternidad circular del devenir.

En matemáticas y en física el teorema de recurrencia de Poincaré afirma que ciertos sistemas dinámicos, tras un tiempo finito suficientemente largo, regresan a un estado tan próximo como se desee al estado inicial en el caso de tiempo continuo o idéntico al estado inicial en el caso de tiempo discreto.

Cuando decimos ciertos sistemas dinámicos nos referimos en parte a aquellos en los que mantienen su porte a lo largo del tiempo, i.e. en su evolución temporal conservan la medida. Formalmente necesitamos una transformación $f: X \to X$ en un espacio de medida $(X, \Sigma, \mu)$, donde $\Sigma$ es una $\sigma-$álgebra sobre el espacio medible $X$ y $\mu$ una media. Se dice que $f$ conserva la medida $\mu$ si para todo conjunto medible $E \in \Sigma$, se cumple que $\mu\pmb{(}f^{-1}(E)\pmb{)} = \mu(E).$

Este teorema de recurrencia de Poincaré puede enunciarse como:

Sea $(X, \Sigma, \mu)$ un espacio de medida finita y sea $f: X \to X$ una transformación que conserva la medida $\mu$. Para cualquier conjunto medible $E \in \Sigma$, el conjunto de aquellos puntos $x$ de $E$ para los cuales existe un $N \in \mathbb{N}$ tal que $f^n(x) \notin E$ para todo $n > N$, tiene medida cero.

De manera compacta tenemos:

En otras palabras, casi todo punto de $E$ y tras la aplicación sucesiva de $f$ retorna a $E$.

En mecánica clásica, los sistemas hamiltonianos cuya medida de Liouville es invariante, resultado de una divergencia nula del flujo en el espacio de fases y característica de los sistemas en los que se conserva la energía, satisfacen las condiciones del teorema de Poincaré y son periódicos a la larga.

La dinámica unitaria a la Schrödinger de los sistemas cuánticos está encerrada en otro ciclo. En mecánica cuántica existe un resultado análogo al clásico: para un sistema cerrado con espectro discreto de energías y una base de autovectores del operador hamiltoniano $H$, tenemos garantías de que para cualquier tiempo de partida $s$ habrá un tiempo $t>s$ futuro en que el estado cuántico $|\psi(t)\rangle$ regrese arbitrariamente cerca del estado inicial $|\psi(s)\rangle$. La evolución unitaria del estado en mecánica cuántica

$$ |\psi(t)\rangle = U(t-s)|\psi(s)\rangle $$

donde $U(t)\;=\;\exp\bigl[-it/\hbar H\bigr]$, conserva la norma y hace la dinámica cuasiperiódica. En efecto, escribiendo los estados en ambos tiempos como combinación lineal de los autovectores de $H$, la distancia entre $|\psi(t)\rangle$ y $|\psi(s)\rangle$ puede hacerse arbitrariamente pequeña.

De hecho, en el ámbito de la computación cuántica encontramos otra forma de visualizar esta recurrencia en el caso más simple: la dinámica de un qubit. Cualquier estado de un qubit se representa como un punto en la esfera de Bloch. Desde el punto de vista matemático, la esfera es un espacio cerrado y compacto. Una compuerta cuántica de un qubit equivale a una rotación de esa esfera. Matematicamente, bajo el Hamiltoniano

$$ H=\omega\hat w\cdot\sigma, $$

donde $\sigma$ es un arreglo vectorial de las matrices de Pauli $\sigma=(\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3)$. El operador de evolución $U(t)$ toma la forma

$$ U(t)\;=\;\exp\Bigl[-i\omega t/\hbar \,(\hat w\cdot\sigma)\Bigr]\,. $$

Como $(\hat w\cdot\sigma)^2=I$, luego $U(t)=\cos\bigl(\omega t/\hbar\bigr)I - i\,\sin\bigl(\omega t/\hbar\bigr)\,(\hat w\cdot\sigma).$ De aquí se ve que $U(t)$ es un operador cíclico, de período $T=h/\omega$. Es decir, la evolución del qubit es un movimiento circular en la esfera de Bloch con vuelta al estado original cada $T$. Este hecho se alinea con la propiedad algebraica de que las rotaciones, elementos del grupo $SU(2)$ que generan los operadores cuánticos de un qubit, pueden asociarse a rotaciones tridimensionales, es decir, a elementos del grupo $SO(3)$. En consecuencia, cualquier Hamiltoniano de dos niveles da lugar a dinámicas cíclicas en la esfera de Bloch, y esas rotaciones unitarias se pueden componer para simular evoluciones complejas.

Estas ideas de dinámica rotacional tienen gran relevancia práctica en la simulación cuántica. Nielsen y Chuang subrayan que un conjunto universal de puertas cuánticas equivale a tratar con rotaciones de $SU(2)$ y $SU(4)$. En la práctica, Reck et al. mostraron que cualquier operador unitario de dimensión finita se puede descomponer en secuencias de transformaciones elementales de 2 dimensiones. Su algoritmo probó experimentalmente cómo construir en el laboratorio un circuito óptico (red de divisores de haz) que implementa cualquier matriz unitaria. Esto facilita la simulación cuántica: con esa receta se puede reproducir en qubits la evolución periódica de sistemas físicos y químicos. En efecto, la simulación cuántica eficiente se basa en descomponer las evoluciones temporales complejas en rotaciones elementales, controlando así los ciclos cuánticos. En términos filosóficos, la unidad de control de estos retornos (rotaciones de Bloch) es la analogía cuántica del dominio del tempo en música: el avance en computación cuántica reside en manejar con precisión las recurrencias temporales.

Epílogo #

Borges escribe sobre la idea de volver eternamente; Goya y Rubens pintan a un Cronos que encarna el tiempo destructor que todo lo repite; en física clásica y cuántica los teoremas de recurrencia garantizan matemáticamente ese retorno. En cada campo la noción circular reaparece: incluso nuestras técnicas más modernas, como la simulación cuántica de sistemas físicos y químicos, dependen de poder controlar rigurosamente esas rotaciones cíclicas del estado.

El progreso científico (simulación de moléculas, materiales cuánticos, etc.) exige entender y manejar los ciclos subyacentes del tiempo.

Hay una aparente dicotomía entre la idea de progreso, tan valorada en la ciencia y la sociedad moderna, y la noción de recurrencia que es objeto de la filosofía y expresión artística, nos revela una interconexión más profunda.

Los avances en simulación de sistemas físicos y químicos, particularmente en el campo de la mecánica cuántica y la información cuántica, dependen intrínsecamente de la capacidad de utilizar y controlar las recurrencias inherentes a estos sistemas. La comprensión y el control de estas recurrencias son, por lo tanto, fundamentales para el futuro del avance científico y tecnológico, permitiendo el desarrollo de herramientas cada vez más poderosas para la simulación y el cómputo.

Anexo #

Extracto de La Venganza Será Terrible emitido el 14 de Julio de 1994.

Referencias #

• J. L. Borges (1944). Ficciones. Emecé, Buenos Aires, pp. 71–76.
• J. L. Borges (1936). Historia de la eternidad. Emecé, Buenos Aires, pp. 362–375.
• F. Nietzsche (1882). La gaya ciencia. Alianza Editorial, Madrid, 1994, Aforismo 341.
• F. Nietzsche (1883–1885). Así habló Zaratustra. Alianza Editorial, Madrid, 1997, Parte III.
• A. Schopenhauer (1819). El mundo como voluntad y representación. Trotta, Madrid, 2006, Libro IV.
• F. de Goya y Lucientes (1820- 1823), Saturno, Museo Nacional del Prado
• P. P. Rubens (1636-1638), Saturno devorando a un hijo, Museo Nacional del Prado
• F. Bloch (1946). Nuclear Induction. Physical Review 70, 460–473.
• M. A. Nielsen & I. L. Chuang (2000). Quantum Computation and Quantum Information. Cambridge Univ. Press.
• M. Reck, A. Zeilinger, H. J. Bernstein & P. Bertani (1994). Experimental realization of any discrete unitary operator. Phys. Rev. Lett. 73, 58–61.
• H. Poincaré (1890). Sur le problème des trois corps et les équations de la dynamique. Acta Mathematica 13, 1–270.
• P. Bocchieri & A. Loinger (1957). Quantum recurrence theorem. Physical Review 107, 337–338.
• L. S. Schulman (1978). Note on the quantum recurrence theorem. Phys. Rev. A 18, 2379–2380.
• S. Lloyd (1996). Universal Quantum Simulators. Science 273, 1073–1078.